大国院士第三十章 高难度的下半场（今天下午有事提前发）
解：先做辅助线ei、fi、bi、ci。 充分性：若bc=be+cf，则可在边bc内取一点k，使bk=be，从而ck=cf，连结ki。 在∠bac的平分线ad上取△abc的内心i，连结因bi平分∠abc，ci平分acb，故△bik与△bie关于bi对称，△cik与△cif关于ci对称 故∠bei=∠bki=π-∠cki=π-∠cfi=∠afi，从而a、e、i、f四点共圆 结合b、e、f、c四点共圆 必要性：若△abc的内心i是△def的外心，由于ae≠af（事实上，由b、e、f、c四点共圆）故 因此bc=bk+ck=be+cf。 必要性证毕。 十分钟的时间，第一道大题被徐川顺利斩杀。 这道题的难度并不是很大，关键点有两个，一个在于利用ei、fi、bi、ci这四条辅助线找到ki辅助线。 另一个则是对π值的运用了。 这是高中几何解三角形和共圆用的比较少的一个点，不过只要掌握了这两点，那么解开第一题并不是什么问题。 半个小时过去，难度较有提升的第二道整数求集合也斩落马下。 “今年的题，似乎并不怎么难的样子。” 看着最后一道一道函数，徐川摸了摸下巴，扫了一眼考场，大部分的学生都在低头做题，这情况印证了他的想法。 毕竟若是题目难度偏高，肯定有学生抬头望天。 这是他两世竞赛观察出来的现象。 “算了，赶紧搞定第三题，然后交卷去试一下外面的美食。” 徐川摇了摇头，注意力重新集中到试卷上。 巴蜀这个地方，他还是第一次来，不过昨天在巴蜀中学食堂吃过的一些美食让他对这个地方的印象还不错。 一所高中就能做出这样的美食，那外面的店子应该味道更正宗一些。 虽然他算不上吃货，但还是挺热衷于尝试食物的。 当然，前提是符合他口味的食物。 那些仰望星空、活蛆奶酪、鲱鱼罐头之类的黑暗料理还是算了。 不过就目前来看，巴蜀本地的食物还是挺不错的。 三道大题做完，徐川检查了两遍，确认无问题后便提前交卷了。 今年湘南省队的带队老师是星城一中的龚日辉老师，对徐川很熟悉，看到他卡着点提前交卷出来便知道这届的题目可能不是那么难。 顺手递了瓶水，龚日辉笑着问道：“考的怎么样？” “还行，上半场的题目难度并不是很高，看下半场了。” 徐川拧开水喝了一口，接着问道：“龚老师，这附近有什么美食吗？我想去试试。” “巴蜀地带的美食还挺多的，钵钵鸡、川北凉粉、担担面、红糖糍粑、天鹅蛋、三合泥、三大炮、肥肠粉这些都很不错。” “这附近出了校门后往右走五百米左右就有一条美食街，你可以去那里看看。” “不过明天还有场考试，还是注意点，别吃坏了肚子。” 龚日辉笑着提醒道，对于眼前的这名学生，他还是放心的，他的舞台在更大的io上，而不是国内的o。 “老师您以前来过这里，这么熟悉？”徐川有些讶异的问道，刚刚龚日辉可是一口气给他推了十几道小吃和美食来着的。 龚日辉笑了笑，道：“我老家就是巴蜀的，自然熟悉。” 徐川哦了一声，点了点头，道了声谢准备去试试龚日辉口中的美食街。 不过还没等他走两步，身后一道声音就拉住了他的脚步。 “川哥你去哪，等等我。” 身后，小圆脸卢天瑞的声音远远的传了过来，他也提前交卷出来了。 徐川其实不太想带他，因为这小正太话真的太多了。 但耐不住纠缠，迫不得已带上了这个尾巴。 “川哥，川哥，你第二道大题，求证集合d(n)={a?bi=ab，a，b∈z+a>b}的什么方法？” “川哥，等会咱们去吃什么？” “川哥，你说咱们等下去吃火锅会不会拉肚子？” “川哥，你说这巴蜀妹妹怎么就不怕冷呢？这都十二月了，还光着腿？” “川哥，” 一路上，卢天瑞叽叽喳喳的问个不停，活生生的一本行走的十万个为什么。 徐川表示自己只想找个耳塞将耳朵塞起来，巴蜀妹妹为啥不怕冷他怎么知道，有本事你去问本人啊。 带着个叽喳不停的小正太在美食街逛了一圈后，徐川回到了集训室。 虽说这小圆脸有点烦人，但巴蜀的美食还是很不错的，有些特色美食也不像流传中的一样全都是麻辣口味，值得一试。 唯一的问题是，这边的豆腐脑居然是酸辣口味的，这对于他来说简直是异类中的异类。 豆腐脑这种东西，必须是甜的！ 回到集训室，和其他参赛的队友交流了一下今天考试的内容和经验后，众人便各自回到了寝室睡去。 一夜无话，第二天的考试很快就开始了。 入场检查，试卷分发，徐川检查了一下试卷，脸上的神情顿时就变的极其微妙。 “好家伙，我说昨天的考题怎么那么容易呢，原来难的都集中到这里来了。” 扫了遍试卷上的题目，徐川轻声嘀咕了一下。 和昨天一样，依旧是三道题目，而且依旧是一道几何，一道整数集合，一道函数。 但题目的难度却翻了好几倍都不止。 就连他，在拿到试卷后第一时间脑海中都没有出现具体的解题思路。 相对于昨天的第一道几何三角简单的两个三角图形来说，今天的几何图复杂了何止十倍。 一道几何，题目文字只占据了两三行，但下面的几何图却几乎占据了试卷一半以上的版本。 徐川数了一下，这个几何图一共有四个圆，两个大圆，两个小圆，圆与圆之间像奥运五环一般互相交错着。 而圆中，圆外，还有八个不同的三角形，有锐角三角形、有直角三角形、有钝角三角形这种常见的三角，还有切瓦三角形、勒落三角形这种复杂的三角。 除此之外，还有六道支线横穿过三角与圆，横纵交替，将整个几何图切割的七零八碎。 三角与三角相交，三角与圆相交，圆与圆相切，直线切割，复杂的图形看的徐川都想撕试卷了。 这对于数学竞赛生来说，绝对是噩梦一般的存在。